ARQUÍMEDES

Un cuerpo sólido está sumergido en dos líquidos inmiscibles: agua y aceite. Determinaremos la densidad de dicho cuerpo por dos métodos distintos:

• El principio de Arquímedes
• La ecuación fundamental de la estática de fluidos

El aceite que tiene una densidad 0.8 g/cm3 se sitúa en la parte superior y el agua que es más densa 1.0 g/cm³ se sitúa en la parte inferior del recipiente.

La densidad del bloque es un número al azar comprendido entre la densidad del aceite 0.8, y la del agua 1.0. Un cuerpo de esta densidad flota entre los dos líquidos.



Principio de Arquímedes

Conociendo que parte del sólido está sumergido en aceite (fluido 1) o en agua (fluido 2), se determinará la densidad de dicho cuerpo.

Consideremos una esfera de radio R que tiene una densidad ρ<1 y que se mantiene completamente sumergida en agua. Se suelta la esfera y se observa su movimiento oscilatorio

En esta página, vamos a comprobar que su comportamiento difiere del Movimiento Armónico Simple (M.A.S.).

ECUACIÓN  DEL   MOVIMIENTO.

Supondremos que el agua y el aire son fluidos ideales, que no ejercen fuerzas de rozamiento sobre la esfera en movimiento.

Para describir el movimiento, situamos el origen del eje X en la superficie del agua y llamamos x a la posición del centro de la esfera.

• Cuando x=-R, la esfera se encuentra completamente sumergida
• Cuando x=+R la esfera se encuentra justamente fuera del agua

Cuando la esfera se encuentra parcialmente sumergida las fuerzas que actúan son:

• El peso  mg
• El empuje  E

Para una esfera de densidad ρ relativa al agua (cuya densidad es la unidad) la masa es

El empuje es el peso en agua del volumen de la parte sumergida. Calculamos el volumen de la parte de la esfera sumergida en agua. Este volumen V es la suma (integral) de los elementos diferenciales de volumen de radio y y de altura dx, uno de los cuales se muestra en la figura.

Cuando x=-R obtenemos el volumen de la esfera 4πR3/3 La ecuación del movimiento es Para calcular la posición x del centro de la esfera en función del tiempo t, resolvemos esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, x=-R, dx/dt=0. Cuando la esfera se encuentra completamente sumergida x=-R se suelta (su velocidad inicial es cero). Transformamos la ecuación diferencial de segundo orden, en la ecuación diferencial de primer orden. Que podemos integrar entre x=-R donde la velocidad de la esfera es nula (posición inicial) y la posición x≤R, donde la velocidad es v.